Entre 1950 y 1959 el genial John Forbes Nash Jr. revolucionó varias áreas de las matemáticas. Si un problema no era imposible, no merecía su atención. Pero sucumbió ante la esquizofrenia cuando se enfrentó al problema matemático más difícil de todos, la hipótesis de Riemann, aún abierto. En la década en la que estuvo activo se enfrentó a los problemas más difíciles con un enfoque siempre nuevo y revolucionario; no le gustaba estudiar lo que otros habían hecho para no sesgar su propio enfoque. Si otros habían fracasado por cierto camino, seguir sus pasos sería repetir su fracaso.
Su década prodigiosa nos brindó una obra breve, pero de gran belleza. Su enfoque siempre es muy novedoso. Sus demostraciones son breves, sin florituras, directas al grano. Por ello sus soluciones fueron asimiladas muy rápido por sus colegas; en algunos casos, otro colega llegó a la misma solución de forma independiente, pero siempre la demostración de Nash es especial, más fácil de recordar, más obvia, más genial, por ello la recordamos por encima de la de los demás.
Realizó una importante y puntual contribución a la teoría de juegos que le llevó a recibir el Premio Nobel de Economía en 1994 y la fama internacional entre el público general. Pero su contribución más importante es en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales no lineales, trabajo que tiene aplicaciones en el campo de la geometría diferencial (lo que ahora llamamos análisis geométrico) y que le ha llevado a obtener junto a Louis Nirenberg el Premio Abel 2015 concedido por la Academia Noruega de Ciencias.
Toda la obra de Nash se adelanta entre 5 y 10 años al estado del arte en su momento. Supo elegir muy bien qué problemas resolver y los resolvió de forma revolucionaria. Nacido el 13 de junio de 1928, ha fallecido a los 86 años en un accidente de tráfico el 23 de mayo de 2015. Descanse en paz (R.I.P.).
[PS 25 May 2015] Recomiendo la lectura del obituario de Erica Goode, “John F. Nash Jr., Math Genius Defined by a ‘Beautiful Mind,’ Dies at 86,” The New York Times, 24 May 2015.
Para entender las contribuciones de Nash que le han llevado hasta el Premio Abel 2015 hay que entender el desarrollo de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales durante todo el siglo XX. Trataré de presentar unos retazos breves y rápidos. Por supuesto, recomiendo a los interesados el resumen (69 páginas) de Haim Brezis, “Partial Differential Equations in the 20th Century,” Advances in Mathematics 135: 76-144, 1998, doi:10.1006/aima.1997.1713.
El estudio de las ecuaciones en derivadas parciales se inició en el siglo XVIII. La ecuación de onda utt=Δu fue introducida por d’Alembert en 1752 para describir una cuerda, y extendida por Euler (1759) y Bernoulli (1762) a múltiples dimensiones. La ecuación de Laplace Δu=0 fue estudiada por Laplace cerca de 1780. La ecuación del calor ut=Δu fue introducida por Fourier en 1810. Estas tres ecuaciones de segundo orden son de tipo hiperbólico, elíptico y parabólico, respectivamente. Durante gran parte del siglo XIX el objetivo se centró en tratar de buscar soluciones a estas ecuaciones por diferentes métodos. Sin embargo, las ideas de Riemann, Dirichlet, Neumann, Schwarz y Wierstrass, entre otros, llevaron a Poincaré a estudiar la existencia y unicidad de soluciones. En 1890, Poincaré lo demostró para el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace usando el principio del máximo y la desigualdad de Harnack. Entre 1890 y 1900 se obtuvieron diferentes resultados que llevaron a que Hilbert incluyera estos asuntos en la lista de sus 23 problemas del Congreso de Paris en 1900.
El problema 19 de Hilbert discute el problema de la regularidad de las soluciones, es decir, cuántas derivadas continuas tienen las soluciones y, en su caso, si se trata de funciones analíticas. El problema 20 de Hilbert discute la existencia de soluciones. El problema 19 fue resuelto para ecuaciones elípticas no lineales de segundo orden en dos dimensiones por Bernstein en 1904. Demostró que una solución C³ (con al menos tres derivadas parciales continuas en todo el dominio) de la ecuación F(x,y,u,∇u,Δu)=0 es una solución analítica si F es analítica. Su técnica de demostración permite atacar también el problema 20 bajo dicha hipótesis. La demostración de Bernstein se basa en la unicidad de la solución del problema linealizado y en una hipótesis inicial de regularidad. Eliminar estas hipótesis no fue fácil y costó décadas de trabajo.
Schauder generalizó los teoremas de punto fijo de Brouwer y junto a Leray logró en 1934 eliminar la hipótesis de unicidad en los teoremas de existencia de Bernstein. Sin embargo, la regularidad inicial parecía resistirse. El concepto de solución débil, también llamado solución generalizada, en el marco de las funciones en espacios de Sóbolev (década de los 1930) y en espacios de distribuciones de Schwartz (1950), llevó a repensar el problema con un nuevo enfoque, generalizar la desigualdad de Harnack (1887). Una función u(x) es armónica si es solución de la ecuación de Laplace n-dimensional, Δu=0, en cierto dominio x∈Ω. Las funciones armónicas cumplen la desigualdad de Harnack: si u(x) es armónica y no negativa en Ω entonces existe una constante tal que en toda bola euclídea se cumple que sup u ≤ C inf u, es decir el supremo está acotado por un múltiplo del ínfimo que sólo depende de la dimensión del espacio.
La desigualdad de Harnack es clave para estudiar la existencia, unicidad y regularidad (número de derivadas continuas) de las soluciones. Permite un control universal de la oscilación de las funciones armónicas. Generalizar este resultado para problemas elípticos y parabólicos más generales fue uno de los problemas abiertos más importantes de la primera mitad del siglo XX. Fue resuelto por Ennio De Giorgi (1957), que tenía 24 años, para ecuaciones elípticas y John Nash (1958), que tenía 30 años, para parabólicas. La demostración basada en las llamadas estimaciones de DeGiorgi-Nash fue simplificada por Jürgen Moser (1960). Gracias a este resultado demostraron la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones para ecuaciones elípticas no lineales que tienen forma de divergencia, en las que el término Δu se sustituye por div(A(u) ∇u). Estos resultados han sido mejorados en múltiples detalles, hasta que el problema general para una forma no divergente fue resuelto en 1980 por Krylov y Safonov.
El teorema de DeGiorgi–Nash–Moser está considerado como uno de los resultados matemáticos más influyentes del siglo XX. Para muchos fue el nacimiento del análisis geométrico, el uso de técnicas de ecuaciones en derivadas parciales para resolver problemas de geometría diferencial. El gran éxito contemporáneo del análisis geométrico, tras la demostración de la conjetura de Calabi por parte del chino Shing-Tung Yau (Medalla Fields en 1982), fue la demostración de la conjetura de Poincaré y de la conjetura de geometrización de Thurston para 3-variedades debido al ruso Grigori Y. Perelman (que rechazó la Medalla Fields en 2006 y el Premio del Milenio del Instituo Clay de Matemáticas en 2010).
El trabajo de Nash y Nirenberg premiado con el Abel 2015 se enmarca en los intentos de resolver el problema 19 de la lista de Hilbert sobre la regularidad de la solución con respecto a la regularidad de los datos para ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden elípticas y parabólicas. Muchos matemáticos han trabajado en este problema. Me gustaría destacar a las rusas Olga Ladyzhenskaya (1922–2004) y Olga Oleinik (1925–2001). Usando las ideas de De Giorgi y Nash obtuvieron lo que muchos califican como la solución completa al problema 19 de Hilbert.
El gran reto de esta rama de las matemáticas para el siglo XXI es el estudio de las ecuaciones de Navier–Stokes (uno de los premios del milenio del Instituto Clay de Matemáticas). Se requieren nuevas técnicas matemáticas mucho más allá de los trabajos de Nash y Nirenberg (aunque no todo el mundo lo tiene tan claro). El también llamado problema de la turbulencia es uno de los más difíciles de la matemática actual (comparable a la hipótesis de Riemann que obsesionó hasta la locura a Nash). Richard Feynman calificó el problema de la turbulencia como el más importante de toda la física clásica. Albert Einstein llegó a decir que iba a preguntar a Dios dos cuestiones: el porqué de la relatividad y el porqué de la turbulencia.
El legado matemático de John Forbes Nash, Jr., es inmenso. Descanse en paz (R.I.P.).
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