Tabla de contenidos
1 Biografía
2 Contexto Historico del Teorema
3 Teorema de incompletitud
3.1 Aproximación al Teorema
3.2 Demostración del Teorema
4 Repercusiones
4.1 Matemáticas
4.1.1 Formalismo
4.1.2 Intuicionismo
4.1.3 Logicismo
4.2 Física
4.2.1 Implicaciones
4.2.2 Relaciones
4.3 Inteligencia Artificial
4.4 Vida Artificial
4.5 Lingüística
4.6 Filosofía
4.7 Informática
4.8 Budismo Zen
5 Autores
6 Licencia
Biografía
Removió los cimientos de las matemáticas que se habían construido desde tiempos de Euclides hasta comienzos del siglo XX, y cuyas ideas repercutieron diversos campos del conocimiento, en especial en la matemática, la filosofía y las actuales ciencias de computación.
Kurt Gödel, nació el 28 de abril de 1906 en Brünn (Moravia).Hijo de Rudolph, propietario de una fábrica textil y Marianne, una cultivada madre de familia.
Gracias a las holgada economía familiar debido al tesón comercial de su padre, Gödel y su hermano pudieron formarse en buenas escuelas privadas alemanas, en las que obtuvieran buenas notas.
Como otros grandes físicos y matemáticos, Gödel no reveló su genialidad durante la infancia.
De manera anecdótica decir que Gödel en la asignatura de matemáticas recibió una calificación de insuficiente.
A pesar de todo fue un niño con una enorme curiosidad, ganándose el apodo de "der Herr Warum (El Señor Por qué)" .
En 1924 ingresó en la universidad de Viena con la intención de estudiar Física Teórica. Impresionado por los profesores Philipp Furtwängler y Hans Hahn su interés se volcó en las matemáticas.
Entró a formar parte del Círculo de Viena (aunque participó en contadas ocasiones en las discusiones), en el que se discutían los escritos de Ludwig Wittgenstein.
Es a partir de entonces donde comienza a elaborar sus teorías más importantes sobre la completitud de sistemas formales.
En 1933 viajó a Estados Unidos impartiendo una serie de conferencias y es allí donde conoció por primera vez a Einstein. Es en esta época cuando Hitler llega al poder.
Aunque al principio Gödel no mostraba excesivo interés por la política tras el asesinato de uno de los miembros del Círculo de Viena por un antiguo alumno nazi, decide emigrar a Estados Unidos donde en 1939 se casó con Adele Pokert estableciendose en Princeton, New Jersey.
En la década de los 40 mantuvo contacto con Einstein y colaboró con él en algunos aspectos de la teoría de la Relatividad, trabajando en las ecuaciones del campo gravitatorio.
Poco después Gödel publicó algunos artículos sobre la Relatividad.
En 1946 se hizo miembro del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, en el que estuvo hasta su muerte.
Recibió numerosos homenajes y premios a lo largo de su vida de Yale, Harvard, la Academia de las Ciencias, Brown, American Philosophical Society, London Mathematical Society y la Royal Society of London.
Sin embargo rechazó el titulo honorífico de la Universidad de Viena por su relación con el tercer Reich.
Su mujer Adele sufrió un ataque cardíaco que la dejó inválida y Gödel tuvo que ocuparse de ella.
Una vez fallecida su esposa, Kurt Gödel dejó de comer convencido de que alguien intentaba envenenarlo. Murió por inanición el 14 de enero de 1978.
Contexto Historico del Teorema Desde tiempos inmemoriables el hombre ha querido dar una explicación a todo, y saber el porqué de las cosas.
Grandes pensadores, han intentado siempre encontrar el método, el camino a la verdad absoluta a través de la filosofía y de las ciencias.
Está última, sobre todo en los últimos tiempos, cogiendo terreno poco a poco a la filosofía.
Esta búsqueda de la verdad siempre se ha visto sometida a continuos cambios con mayor o menor acierto. Siempre que un método parecía funcionar para los casos conocidos, surgía un nuevo caso no explicable.
De nuevo, se volvía a replantear el porqué de ello y el cómo resolverlo y/o controlarlo. Para entender el impacto que causó el Teorema de Gödel cuando vio la luz, es necesario tener una visión general de la situación en la época.
Las matemáticas comenzaban una etapa de optimismo y la mayoría de los matemáticos consideraban que todo aspecto de las matemáticas podría ser codificada en sistemas que permitieran demostrar la falsedad o verdad de todas las proposiciones.
¿Cómo se llegó a esta situación?
En primer lugar se hace necesario explicar qué es la axiomatización.
La axiomatización consiste en establecer una serie de reglas y razonamientos a partir de los cuales y gracias a las reglas de inferencia del sistema, se pueda llegar a otros enunciados o proposiciones.
Un axioma es una verdad que no necesita demostración, pues su veracidad es implícita.
Los axiomas forman la base a partir de la cual comenzar a trabajar dentro de un sistema, y un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas y reglas de inferencia que nos permite demostrar la veracidad o falsedad de una proposición.
La matemática ha sido considerada desde la Antigüedad hasta el siglo XIX como la ciencia encargada del conocimiento de la propiedad cuantitativa de los fenómenos naturales.
Basándose en una serie de axiomas, la matemática permitía formalizar los diversos fenómenos naturales.
Un claro ejemplo de esta formalización es la geometría euclidiana.
Euclides partía de los siguientes axiomas para formalizar una realidad:
Trazar una línea desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera (por dos puntos pasa una recta). prolongar de manera ilimitada en línea recta una recta ilimitada (una recta se puede prolongar indefinidamente).
Describir un círculo para cada centro y cada radio (por cada punto y para cada longitud existe un círculo de centro el punto y de radio esa longitud).
Todos los ángulos rectos son iguales (todo ángulo recto mide lo mismo, noventa grados).
Si una recta al incidir sobre otras dos forma del mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas al infinito se encontrarán en el lado en que estén los ángulos menores que dos rectos (si una recta corta a otras dos y no forma ángulo recto con ambas, las dos rectas se cortarán).
Este sistema definió la geometría clásica hasta el siglo XIX, pero se descubrió que variando el quinto axioma, sustituyéndolo por uno nuevo de tal forma que no contradijese a los anteriores, se obtenía otra geometría, no errónea, sino distinta a la euclidiana.
Esto permitió crear nuevos sistemas que formalizaban distintas realidades. Llegado el siglo XIX, los lógicos ingleses George Boole y Augustus De Morgan codificaron los esquemas deductivos de razonamiento.
Frege y
Peano combinaron el razonamiento formal con el estudio de los conjuntos y los números, y Hilbert por su parte creo formalizaciones de geometría más estrictas que las de Euclides.
Cantor por su parte había diseñado una teoría de conjuntos que pese a ser bastante atractiva, contaba con diversas paradojas.
Estas surgían del fenómeno de la autorreferencia.Por lo tanto, eliminada la autorreferencia, eliminadas las paradojas.
Russel y
En lo referente a la teoría de conjuntos, bastaba con tener un conjunto de nivel bajo, que sólo englobaría objetos.
A su vez existiría una serie de conjuntos de mayor nivel los cuales podrían incluir objetos y conjuntos de un nivel inferior.
Los matemáticos y lógicos comenzaron a albergar dudas acerca de los sistemas formales, pues parecía que las paradojas surgían rápidamente en dichos sistemas.
Si las paradojas de la lógica podían darse en la matemática, esta no tendría unas bases tan firmes como se creía.
Fue entonces cuando comenzó a surgir la metamatemática, el estudio de la propia matemática.
El razonamiento matemático siempre se había hecho en lenguaje natural, lo que daba lugar a muchas ambigüedades.
Russel y Whitehead, en sus Principia Mathematica, pretendieron derivar toda la matemática de la lógica, sin ningún tipo de contradicción.
La obra fue aclamada por todos, si bien aún existía la duda de si toda la matemática estaba englobada en ellos y si se podían llegar a resultados distintos usando los mismos métodos.
En resumen, lo que Hilbert pretendía era que a partir de una porción de las matemáticas, demostrar la solidez del todo.
Si esto llegaba a darse, podría considerarse toda demostración como un mero proceso mecánico, de tal modo que toda proposición de un sistema sería demostrable.
Y aún en el caso de que existieran fallos en el sistema, la inclusión de nuevos axiomas podría subsanarlos.
En el año 1931, Gödel publicaba su artículo, que echaba por tierra el programa de Hilbert, pues demostraba no sólo que el sistema de Russel y Whitehead tenía fallos, sino que todo sistema axiomático los tendría.
La publicación del que se conocería como el Teorema de Gödel supuso un duro golpe, pues en resumidas cuentas, demostraba que el hombre no podría alcanzar el conocimiento y la verdad absolutos.
Teorema de incompletitud Antes de comenzar a hablar del teorema, se hace necesario explicar una serie de conceptos que ayudaran a una mejor comprensión del mismo.
En primer lugar debe saberse qué es una paradoja.
Una paradoja es una proposición que se contradice a sí misma, una proposición incoherente.
Obviamente, si no sabe nada, ya sabe algo, luego la proposición se contradice a sí misma.
La contradicción de esta paradoja surge en el momento en que Sócrates hace referencia a si mismo.
El teorema de Gödel tiene mucho que ver con proposiciones que hacen referencia a si mismas.
Otra paradoja bastante antigua es la conocida como
"paradoja de Epiménides o del mentiroso" que decía
"Los cretenses, siempre embusteros".
Como Epiménides era cretense podemos traducir la afirmación así:
"Siempre miento. Nunca digo la verdad".
¿Qué se puede inferir de esta paradoja?
Si Epiménides siempre miente, dicha afirmación sería falsa, por lo tanto, no siempre miente y siempre dice la verdad.
Pero si dice la verdad, la afirmación resultaría ser cierta, por lo tanto, siempre miente y nunca dice la verdad. Y así podríamos continuar hasta el infinito, sin llegar a nada concreto.
De nuevo, la autorreferencia produce una paradoja.
Una variante de la paradoja de Epiménides es la siguiente: supongamos que nos encontramos con Epiménides y nos dice: "Esta aseveración es falsa".
¿Dice la verdad o miente?
Nuevamente la autorreferencia produce una paradoja.
Siempre nos encontramos con la autorreferencia.
Pensemos más detenidamente en este caso y démosle otro aspecto usando lenguaje matemático.
Digamos que
B = [Esta aseveración no es verdad] = [B es falsa]
La pregunta es,
¿B es falsa o cierta?
Son las dos únicas opciones.
Vamos a analizarlas y ver que situaciones plantean.
Supongamos que B es cierta.
Si B es cierta, la aseveración "B es falsa" es verdadera.
Vaya, nos encontramos ante una contradicción.
¿Qué tal si probamos con la otra opción?
Vamos a suponer ahora que B es falsa.
Si esto es así, nos encontramos con que la aseveración "B es falsa" no es verdad, luego podríamos decir que "B es cierta", pero
¿no habíamos dicho que B era falsa?
Una nueva contradicción.
Esta paradoja será muy útil para Gödel, quien sustituye la palabra "verdad" por "demostrable".
Gödel crea la proposición G, donde
G = [Esta aseveración no es demostrable] = [G es indemostrable]
Gödel nos dice que puede que G sea verdad, pero que no lo demostraremos nunca.
Nos encontramos ante el hecho de que el hecho de que una proposición sea verdadera tiene más peso que el hecho de que sea demostrable.
Otra curiosa paradoja es la siguiente:
La siguiente oración es falsa.
La oración anterior es verdadera.
Dejamos al lector el trabajo de encontrar la incoherencia, pero no podemos dejar de señalar que nuevamente el fenómeno de la autorreferencia provoca la paradoja.
En este caso particular cada proposición hace referencia a la otra, con lo que se crea un "bucle infinito".
Si el lector quisiera saber más sobre estos "eternos y gráciles bucles", le recomendamos el libro "Gödel, Escher, Bach.
Un eterno y grácil bucle" de Douglas R. Hofstadter.
Aproximación al Teorema
En 1931 Gödel publicó un artículo titulado "Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados".
La proposición VI de este artículo es lo que se conocería como primer teorema de Gödel.
Esta proposición dice así: Proposición VI.
"A toda clase c de fórmulas w-consistente recursivas le corresponde una clase-signo r tal que ni v Gen r ni Neg(v Gen r) pertenecen a Flg(c), donde v es la variable libre de r".
Esto, dicho tal cual, puede sonar bastante enrevesado, pero podríamos afirmar que el teorema de Gödel dice: en todo sistema axiomático existen proposiciones sobre las cuales no vamos a poder demostrar si son ciertas o falsas. Gödel asimismo afirmaba que si un sistema es consistente, entonces es incompleto, y si el sistema es completo, entonces es inconsistente.
Pero el lector tal vez se pregunte qué es un sistema, qué significa que sea consistente o incompleto, qué es una proposición, etcétera.
Vamos a intentar explicar que es cada cosa antes de profundizar más en el teorema.
En primer lugar, un sistema es un conjunto de axiomas y reglas de inferencia.
Una proposición es una afirmación que puede ser cierta o falsa.
Por ejemplo, en un sistema aritmético, una proposición podría ser "2+2=4". La proposición sería cierta. Otra proposición puede ser "3+1=7" en cuyo caso sería falsa.
En lo referente a completitud y coherencia, un sistema es completo cuando dentro de el sistema puede determinarse el status de veracidad o falsedad de toda proposición dentro él; es decir, cuando siempre podemos saber si la proposición es cierta o falsa.
Los sistemas incompletos tienen proposiciones las cuales no podemos saber si son ciertas o falsas.
Asimismo, un sistema es coherente cuando no hay contradicciones de ningún tipo ni tiene ninguna paradoja; y obviamente, es incoherente cuando nos encontramos con contradicciones y paradojas.
sistema consistente (sistema limipio de paradojas y contradicciones) ⇒ incompleto sistema completo (sistema donde toda proposición puede ser demostrada o refutada dentro de él) ⇒ inconsistente
En la época en la que aparece el Teorema de Gödel, se creía que podrían crearse sistemas que describieran los diversos campos de la matemática (la teoría de conjuntos, la teoría de números, la lógica, etcétera) de tal modo que dichos sistemas fueran completos y coherentes.
Se aspiraba a abarcar todo el conocimiento y en su optimismo, los matemáticos creían que todo podría ser demostrado.
Pero un sistema que incluya proposiciones autorreferenciales genera paradojas, como vimos anteriormente.
El Teorema de Gödel marcó un antes y un después en las matemáticas.
Demostración del Teorema
Las pruebas de Gödel sobre la consistencia interna y completitud se basan en la idea de la representación, es decir, en la posibilidad de "representar" declaraciones metamatemáticas acerca de un sistema formal dentro del sistema mismo.
Gödel trata de traducir proposiciones sobre el sistema tales como "esta proposición no tiene demostración en el sistema" a proposiciones numéricas.
No debemos perder de vista que el teorema de Gödel se centra en la aritmética y sistemas afines, por lo que las proposiciones deben traducirse a números naturales.
Hacer uso de la idea de la representación es la clave de la investigación de Gödel.
Él probó que proposiciones metamatemáticas acerca de un sistema aritmético formalizado podían ser representadas por fórmulas aritméticas dentro del propio sistema.
Una vez que se aseguró de que era posible esto, el segundo paso consistió en idear un método de representación tal que le permitiera demostrar que ni la fórmula aritmética correspondiente a una determinada proposición metamatemática verdadera acerca de la fórmula, ni la fórmula aritmética correspondiente a la negación de la proposición, son demostrables dentro del sistema.
En resumidas cuentas, Gödel ideó un sistema tal, que a proposiciones metamatemáticas sobre el sistema, les correspondía una única fórmula aritmética dentro del propio sistema para a continuación demostrar que dichas fórmulas no eran demostrables.
El método ideado por Gödel se conoce como numeración Gödel.
El proceso consta de varias fases que van desde la simbolización numérica Gödel hasta la demostración de la imposibilidad de probar la consistencia de la aritmética mediante un proceso finitista.
En primer lugar, Gödel asoció a cada símbolo de cualquier fórmula del cálculo un número entero positivo arbitrario.
Gödel optó por la siguiente simbolización para el vocabulario fundamental:
Signo constante número Gödel significado
¬ ó ~ 1 "no"
∨ 2 "o"
⇒ 3 "implica"
∃ 4 "existe un"
= 5 "igual"
0 6 "cero"
s 7 "siguiente"
( 8 "signo de apertura de paréntesis"
) 9 "signo de cierre de paréntesis"
, 10 "coma"
variables numéricas número variables proposicionales número
x 11 p 112
y 13 p 132
z 17 r 172
Variables predicativas número
P 11 2
Q 13 2
R 17 2
Por ejemplo, el número Gödel asignado a la fórmula:
----------------------------------
(∃x)(x = sy)
----------------------------------
sería
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Existen signos que no aparecen en el vocabulario, por lo que no tienen asociado un valor.
¿Por qué?
¿Acaso no podría provocar esto que se queden fuera muchas proposiciones?
La respuesta es que no, ya que Gödel demostró que los signos anteriores eran suficientes, por lo que para representar ciertas proposiciones, deben transformarse a proposiciones equivalentes que empleen estos símbolos.
Por ejemplo, la conjunción "p ^ q" queda definida por la expresión "~(~p v ~q)".
En el caso de haber una sucesión de fórmulas el número de Gödel se puede obtener a partir de los números de Gödel de cada fórmula de la sucesión por el mismo procedimiento que el número Gödel de cada una de las fórmulas.
Es decir, si n1,n2,...,nk, son los números de Gödel de las k fórmulas de una sucesión S, el número Gödel de S, nS será:
------------------------------------------------------------------------------------
donde pk es el primo de lugar k.
En resumen, toda expresión contenida en el sistema tiene asociado un número Gödel. Este método establece una correspondencia biunívoca. Toda expresión del sistema corresponde a un único número Gödel y todo número Gödel está asociado a una expresión del sistema.
Una que vez que Gödel establece los símbolos básicos, intenta construir la proposición "Esta proposición no es demostrable en el sistema". Es la llamada fórmula G. Dichas fórmula puede ponerse de la siguiente forma:
-------------------------------------------------------------------------------------------------
G = [G no es demostrable]
--------------------------------------------------------------------------------------------------Para ello comienza definiendo la relación "la sucesión de fórmulas con número de Gödel x es una prueba de la fórmula con número de Gödel z". Sea esta relación Dem(x,z).
De forma análoga, ~Dem(x,z) es la relación aritmética equivalente a "la sucesión de fórmulas con número Gödel x no es una prueba de la fórmula con número Gödel z". La relación Dem(x,z) viene a decir que la proposición cuyo número Gödel es z es demostrable.
Se emplea también la notación aritmética Sust(m,k,m) para designar matemáticamente "el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel m, sustituyendo en ella la variable de número Gödel k por el numeral de m".
Teniendo estas dos relaciones, podemos hayar la fórmula G. Esta, como se ha comentado antes, debe ser la representación aritmética de la proposición metamatemática "la fórmula G no es demostrable".
Se parte de la fórmula
----------------------------------------------------------------------------------------------
(∀ x)(~Dem(x,z))
----------------------------------------------------------------------------------------------que quiere decir que "para todo x, la sucesión de fórmulas con número Gödel x no es una prueba con número de Gödel z" o lo que es lo mismo, la fórmula de número Gödel zno es demostrable. Un caso particular de ésta sería:
------------------------------------------------------------------------------------------------
(∀ x)(~Dem(x, sust(y,k,y)))
-------------------------------------------------------------------------------------------------
donde sust(y,k,y) representa un número Gödel. Esta fórmula tiene a su vez asociado un número Gödeln. Si la reescribimos del siguiente modo, sustituyendo y por n, tendremos que
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(∀ x)(~Dem(x, sust(n,k,n)))
------------------------------------------------------------------------------------------------
Esta es la fórmula G que se buscaba. El número Gödel asociado a G es el número simbolizado por sust(n,k,n), luego la fórmula G expresa la siguiente proposición:
------------------------------------------------------------------------------------------------
"(∀ x)(~Dem(x, sust(n,k,n))) no es demostrable".
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Hemos conseguido representar la proposición "Esta proposición no es demostrable" dentro del sistema. Si se consigue demostrar G dentro del sistema, se llegaría a una contradicción, con lo que el sistema sería incoherente. Así pues, G debería ser no demostrable y de este modo cierta, por lo que el sistema sería incompleto al no poderse demostrar la proposición G. En el caso de que la proposición G se incluyera dentro del conjunto de axiomas del sistema para solucionar la incompletitud del mismo, siguiendo el mismo proceso obtendríamos los mismos resultados.
El siguiente paso a seguir es probar que si G es demostrable, su negación ~G también es demostrable. Por lo tanto, si (∀ x)(~Dem(x, sust(n,k,n))) es demostrable, entonces ~(∀ x)(~Dem(x, sust(n,k,n))) también lo es.
Suponiendo que G es demostrable, existiría una sucesión de fórmulas aritméticas que constituyesen una prueba de G. Sea I el número Gödel de tal sucesión de fórmulas.
Por lo tanto tenemos (Dem(I, sust(n,k,n))). Esta fórmula debe ser fórmula aritmética verdadera.
Sin embargo puede probarse que esta relación aritmética es de un tipo tal que, si dicha relación se da entre un par definido de números, la fórmula que exprese este hecho es demostrable, por lo tanto, (Dem(I, sust(n,k,n))) es un teorema.
Ahora bien, empleando las reglas de transformación de la lógica elemental se obtiene la fórmula ~(∀ x)(~Dem(x, sust(n,k,n))). Esta fórmula es ~G.
Por tanto,G y su negación son ambas demostrables lo que es una paradoja puesto que estamos demostrando que la proposición "Esta proposición no es demostrable" es demostrable, por lo que el sistema sería incoherente. Suponiendo que el sistema es consistente (sin contradicciones ni paradojas), entonces tanto G como su negación son no demostrables, por lo que el sistema sería incompleto. Aún cuando se añadiera G al conjunto de axiomas del sistema, podría construirse una nueva fórmula verdadera pero indecidible siguiendo los pasos descritos anteriormente.
La pregunta que surge es: ¿si la aritmética es consistente, entonces es incompleta? O bien ¿si la aritmética es completa es entonces inconsistente? Para responder a esta cuestión se crea una nueva fórmula aritmética A, que representa la proposición "Existe una fórmula aritmética que no es demostrable". Usando la representación, tenemos que dicha proposición sería
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(∃ y)(∀ x)(~Dem(x,y))
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Literalmente, esta fórmula viene a decir que existe al menos una fórmula aritmética tal que ninguna sucesión de fórmulas aritméticas constituyen una prueba. Es decir, existe una fórmula que no es demostrable. Si se consigue demostrar A, se demostraría la incompletitud del sistema. Podemos expresar la proposición "si la aritmética es consistente, entonces es incompleta" de la siguiente forma:
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A ⇒ G
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
que sería
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(∃ y)(∀ x)(~Dem(x,y)) ⇒ (∀ x)(~Dem(x,Sust(n,k,n)))
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Puede probarse que la fórmula A no es demostrable, pues si lo fuese y suponiendo que A ⇒ G es demostrable, se tendría como demostrable A y por la regla de separación, sería demostrable también G. Por lo tanto, el cálculo sería inconsistente.
Con su teorema, Gödel vino a decir en definitiva, como se dijo antes,que si la aritmética es consistente, entonces es incompleta, y si la aritmética es consistente, su consistencia no puede probarse por ningún razonamiento metamatemático que pueda ser representado dentro de la aritmética.
Repercusiones
En la civilización occidental, desde la cultura griega hasta la fecha las matemáticas se han erigido como fortaleza del racionalismo. Sin embargo, hasta en la más precisa de las ciencias el hombre no puede huir de su finitud. Todo sistema matemático que pueda construirse estará condenado a la incompletitud. Gödel ha mostrado que existen en matemáticas problemas sin solución que no pueden formalizarse en un sistema completo.
Los matemáticos saben ahora que su mayor objetivo, el de llegar a lo más profundo de las cosas es inalcanzable. Su objetivo como tal ni siquiera existe.
Las matemáticas no poseen una realidad autosustentable independiente del hombre; y aunque existiera, nuestra esencia finita nos impediría formalizar su descripción en un sistema completo. Más aún, el conocimiento racional nunca podrá llegar a la verdad última del universo.
Son muchas las repercusiones del trabajo de Gödel. La única condición para su aplicación es contar con un sistema de razonamiento basado en un conjunto finito de axiomas.
A esta descripción responden todas las ramas de las matemáticas, física, astronomía, muchos planteamientos de la filosofía y la lingüística...
Sin embargo, y relajando la condición podría extenderse a las ciencias sociales: economía, psicología, sociología, teología o historia; si bien hay que decir que la aplicación en dichos casos no gozará del rigor de su origen, y se puede llegar a conclusiones falsas.
La limitación que el teorema nos descubre supuso un duro golpe al formalismo y logicismo matemáticos que hasta entonces trataban de alcanzar lo que resultaría ser inalcanzable. Esta es pues su primera y más directa repercusión.
Matemáticas
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Formalismo
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Entendiendo por sistema matemático un sistema formal, es decir, un conjunto de símbolos carentes de significado que lo adquieren mediante una serie de convenciones previas o axiomas.
La demostración de este hecho que no se ponía en duda, fue el objetivo principal de Hilbert.
Gödel constituyó un duro golpe para esa concepción clásica, la naturaleza de la verdad matemática se suponía que era la demostrabilidad, pero no es así.
Demostró los límites de los sistemas formales. La matemática siempre contendrá verdades indecidibles, siendo por tanto inagotable.
El método axiomático resulta finitamente fecundo.
Como dijo Morris Kline uno de los formalistas de la época, "El fenómeno de la incompletitud constituye un importante defecto ya que entonces el sistema formal no es adecuado para demostrar todas las afirmaciones que podrían serlo correctamente (sin contradicción) dentro del sistema.
" Tambien Herman Weyl apostilla en 1949: "Ningún Hilbert será capaz de asegurar la consistencia para siempre; hemos de estar satisfechos de que un sistema axiomático simple de matemáticas haya superado hasta el presente el test de nuestros elaborados experimentos matemáticos... Una matemática genuinamente realista debería concebirse, en parangón con la física, como una rama de la interpretación teorética del único mundo real y debería adoptar la misma actitud sobria y cautelosa que manifiesta la física hacia las extensiones hipotéticas de sus fundamentos.
" Intuicionismo"
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Los resultados de Gödel son también decisivos para el intuicionismo de Brouwer. Aunque ya habían sido vistos por éste, de hecho le sorprendía la importancia que se le estaba dando a tal descubrimiento. El mérito de Gödel, sin embargo, radica en la construcción de las pruebas formales que muestran proposiciones indecidibles desde el formalismo de la aritmética elemental. Probó también que no era posible demostrar la consistencia dentro del sistema. Gödel por tanto les hizo ver que el uso de métodos formales podía llevar a conclusiones precisas que sólo podrían verse parcialmente y de forma incompleta.
Logicismo
En el último capítulo de su Introduction to Mathematical Philosophy, Russell escribe:
"Si todavía hay quien no admita la identidad de la lógica y la matemática, podemos desafiarle a que nos muestre en qué punto de la cadena de definiciones y deducciones de los Principia Mathematica considera que concluye la lógica y comienza la matemática."
Es entonces cuando el teorema de imcompletitud arruina el objetivo del logicismo de construir un sistema lógico que permita incluir la aritmética.
Descubre que la verdad matemática es de orden mayor a la verdad lógica, por tanto, no se puede reducir la matemática a la lógica.
Es reseñable la evolución de la opinión de Russell que queda plasmada en la siguiente cronología de citas:
1901
"el edificio de las verdades matemáticas se mantiene inconmovible e inexpugnable ante todos los proyectiles de la duda cínica".
1924
“la lógica y la matemática, al igual que, por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell, son aceptadas debido a la verdad observada de algunas de sus consecuencias lógicas".
1959
“La espléndida certeza que siempre había esperado encontrar en la matemática se perdió en un laberinto desconcertante".
W. y M.Kneale señalan el "ataque" que realiza Gödel sobre la identificación entre lógica y matemática que hace Russell
"Desde Gödel, parece razonable responder que la lógica no se extiende más allá de la teoría de la cuantificación. Cuando decimos que la aritmética y, con ella, todos los llamados cálculos funcionales de orden superior, así como todas las versiones de la teoría de conjuntos, son esencialmente incompletos, estamos efectivamente admitiendo que esas teorías envuelven alguna noción, o más de una, de la que no cabe ofrecer una exhaustiva caracterización mediante el establecimiento de una serie de reglas de inferencia: y ésta parece constituir una buena razón para excluirlas del dominio de la lógica.... carecería de objeto afirmar la posibilidad de reducir toda la matemática a la lógica si, al mismo tiempo, hubiera que admitir que la lógica incluye dentro de sí todos y cada uno de los diversos apartados de la matemática.
Física
Implicaciones
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Por su cercanía a las matemáticas, la física, tan cuidadosamente axiomatizada es la más afectada por el teorema de Gödel. Los físicos han comprendido a la fuerza que sus mayores limitaciones no serán económicas o tecnológicas, ni siquiera las asociadas a la capacidad humana. Su mayor limitación radica en que nunca alcanzarán solución a todos los problemas que puedan plantearse, ya que todo sistema racional de conocimientos es esencialmente incompleto.
Para entenderlo, consideremos que la física no existe a parte del universo, forma parte de él y su objeto es modelarlo. El hombre también forma parte del mismo. Dado que tanto el sistema como sus creadores forman parte del universo, parece evidente pensar que el universo trata de hacer un modelo de sí mismo. Por tanto, una pequeña parte del universo (el hombre y su sistema) tratan de modelar una realidad completa (el universo). Este es un claro ejemplo de autoreferencia, y como tal aparece una paradoja: el modelo como parte del universo tendría que ser mayor que el universo que pretende modelar.
¿Una parte mayor que el todo?
Relaciones
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Junto al teorema de Gödel surgen una serie de teoremas cuya suma establece una gran limitación sobre el alcance del conocimiento científico. Muere por tanto el ideal, u objetivo esencial de la ciencia en sí, consistente en establecer un sistema axiomático que explique los fenómenos de la naturaleza/universales.
Podemos relacionar el teorema de incompletitud con tres de los grandes principios o leyes fundamentales: la relatividad, la incertidumbre y la indecibilidad, estudiados por Albert Einstein,Werner Heisenberg y Alan Turing respectivamente.
Expliquemos a grandes rasgos dichos principios:
El principio de relatividad nos explica que no existen puntos de vista privilegiados para observar la realidad. Posición, tiempo y velocidad son relativos y según el punto de vista obtenemos resultados diferentes igualmente válidos.
El principio de incertidumbre asevera: Medir implica interactuar y por tanto cierta alteración. Pero aunque la medida sea ideal, la posición de una partícula es sólo la probabilidad de obtener una medición, no una cantidad absoluta. Se antoja imposible por tanto conocer exactamente a la vez dónde está y a qué velocidad se mueve una partícula.
El principio de indecibilidad:
No es posible escribir un programa que decida si otro programa cualquiera está correctamente escrito (en el sentido de que nunca quedará colgado). La verificación algorítmica por tanto queda limitada.
Una vez introducidos todos los principios, ¿qué relación podemos encontrar entre ellos? Todos ellos supusieron el descubrimiento de diferentes limitaciones que existen en la lógica formal que empleamos para llegar a las verdades más profundas, ya sea en física, matemáticas, o cualquier otra aplicación. Pero éstas no son limitaciones a la ciencia en sí, sino a la forma en que la observamos. No debe ser por tanto fuente de desánimo sino llamada de atención.
Carlos Castillo, Doctor en Ciencias por la Universidad de Chile, nos relaciona éstos principios de la siguiente manera:
"Tanto la relatividad como la incertidumbre se originan en la física, mientras que la incompletitud y la indecidibilidad aparecen en la matemática. La incertidumbre y la indecidibilidad, a su vez, tienen que ver con la incapacidad de hacer predicciones, mientras que la relatividad y la incompletitud con el hecho de que las referencias son necesarias, pero impiden ciertas operaciones. No quisiera intentar llevar estas relaciones demasiado lejos: es probable que en el futuro descubramos nuevas limitaciones al quehacer científico, que completen esta imagen. Más bien, y para terminar, quisiera plantear otra analogía."
"En el ojo de los mamíferos observamos una construcción bastante curiosa, y es que todos los nervios que van desde la superficie de la retina hasta el cerebro, al salir del ojo se encuentran en un solo punto. Este diseño tiene una desventaja y es que justamente el punto donde se encuentran los nervios no es sensible a la luz. Esto genera un "punto ciego", una zona del campo visual en la cual no vemos. Al mismo tiempo y curiosamente, no vemos que no vemos. Primero, el punto ciego es bastante pequeño; segundo, el cerebro compensa la imagen para que no veamos una pelota negra flotando en el aire, y tercero, tenemos dos ojos y sus puntos ciegos no coinciden. Podemos ocupar el hecho de que sabemos que hay un punto ciego en el diseño de algunos aparatos, por ejemplo, en el diseño del tablero de control de un avión, pero aparte de eso en la vida diaria y para el 99.9% de la población no tiene ninguna relevancia."
"Sucede algo similar con las leyes que hemos discutido. Por una parte, restringen la mirada, pero podemos operar con ellas. Aún existiendo relatividad, si nos sorprenden a 120 kilómetros por hora en una zona de 100 km/hr tendremos una multa, sin importar que con relación a nosotros el automóvil estaba inmóvil, porque hemos fijado cierto marco de referencia. Aún existiendo incertidumbre es posible jugar al baseball porque la incertidumbre para un objeto del tamaño de una pelota es muchísimo menor que lo observable a simple vista. Aunque los sistemas deductivos son incompletos, la incompletitud le quita el sueño a muy pocos matemáticos, y cada año demostraciones increíblemente ingeniosas y difíciles son llevadas a cabo sin problemas. Aún existiendo indecibilidad, programas de primera calidad controlan sistemas de alta disponibilidad y la mayoría de los errores encontrados no provienen de oscuras condiciones de parada sino de meros descuidos a la hora de programar."
"Las reglas del juego científico incluyen relatividad, incertidumbre, incompletitud e indecibilidad. Desde el punto de vista de la ciencia, el entender estas limitaciones nos puede llevar a nuevos descubrimientos acerca de cómo funciona el universo. Aún a través de este punto ciego, podemos ver."
Inteligencia Artificial
John Lucas, filósofo de Oxford, defendía el punto de vista a partir del que Gödel, había mostrado que en los sistemas matemáticos existen proposiciones indemostrables dentro de los propios sistemas, y que sin embargo son evidentemente verdaderas.
De esta manera, argumenta:
"Cualquier formalismo S que contenga PA es tal que al razonar sobre él, podemos establecer la existencia de una fórmula verdadera con respecto a la interpretación estándar de S pero indemostrable en S. Por tanto, esa fórmula será aceptable desde nuestro punto de vista, por ser verdadera, pero inaceptable para S –por ser indemostrable–, con lo que ningún cálculo será capaz de encapsular las habilidades formales del ser humano."
Lucas por tanto se basaba en que la capacidad de nuestro entendimiento sobrepasa a la del computador. El computador emplea únicamente algoritmos, es decir, series de precisas normas que definen los pasos a seguir para resolver un problema o demostrar la veracidad de una proposición. Pero no existe ningún algoritmo capaz de demostrar determinadas proposiciones que sin embargo nosotros percibimos como ciertas. De esta manera, el conocimiento de esas verdades no puede ser de orden algorítmico. Como los computadores funcionan únicamente sobre la base algorítmica, no somos computadores.
Roger Penrose retoma el argumento de Lucas y a partir de la versión del teorema de Gödel presentado por Turing, conocido como -demostración del insolucionable problema de la "detención"- (de una máquina en proceso de cálculo), afirma que ningún computador podrá alcanzar al ser humano en el ámbito del razonamiento matemático, ya que el ser humano posee capacidades intuitivas "no algorítmicas", además los modelos informáticos no garantizan jucios de verdad.
Vida Artificial
Los teoremas de Gödel han sido ampliamente empleados para criticar las ideas que defienden la creación de una auténtica Inteligencia Artificial.
Sin embargo, muchas de las teorías que echan por tierra el sueño de crear una máquina con una inteligencia que pueda rivalizar con la del ser humano no pueden ser aplicadas al campo de la Vida Artificial sin más, a pesar de los muchos puntos en común que tienen ambos campos.
Tales argumentos demuestran que el sólo uso de la incompletitud no sirve para negar la posibilidad de crear inteligencia artificial.
Sin embargo, Gödel puede emplearse para restringir y cerrar muchos caminos en el campo de la Vida Artificial.
La Vida Artificial no persigue la meta de crear una inteligencia similar a la humana (esto queda dentro del campo de la Inteligencia Artificial), sino que profundiza en el estudio de la vida en su sentido más elemental, comparando y contrastando los conceptos de
"vida tal como es" y "vida tal y como podría ser".
Actualmente en el campo de la Vida Artificial existen dos opciones para la investigación y el desarrollo. (1)Una de ellas considera la Vida Artificial como las herramientas necesarias para estudiar el mundo natural, (2)mientras que la otra se centra en la idea de que se pueden diseñar programas, que ejecutados correctamente, constituyan una forma de vida por sí mismos.
Donde el teorema de Gödel puede afectar más es en esta segunda acepción del concepto Vida Artificial, y más concretamente, en la idea de que se pueden crear realidades artificiales que puedan tener los requisitos mínimos para la creación de vida.
Para entender el concepto de Vida Artificial y las restricciones que Gödel pueda imponer se hace necesario conocer primero el término mecanicismo.
El mecanicismo surge a partir del siglo XVII, y es la creencia de que el universo se rige y es explicable en términos de procesos mecánicos.
El mecanicismo intenta demostrar que el universo no es más que un gran sistema.
Si los físicos podían modelar el universo en función de las leyes físicas, la biología también podría ser modelada de acuerdo a esas mismas leyes.
Según Descartes, los propios animales podrían ser considerados máquinas, y autores como Emmeche afirman que "un organismo no es más que una colección de átomos, una simple máquina hecha de moléculas orgánicas". Sattler definía los seres vivos en términos mecanicistas, y literalmente hizo las siguientes afirmaciones:
Los sistemas vivos pueden y deben ser vistos como sistemas físico-químicos.
Los sistemas vivos pueden y deben ser vistos como máquinas.
Los sistemas vivos pueden ser descritos formalmente.
Existen leyes naturales que describen por completo los sistemas vivos.
Sin embargo autores como Lucas y Penrose defienden la idea de que al menos en el caso de los seres humanos, esto no es así, y pese a la idea que se tenía de los seres vivos como entidades físicas que se rigen por procesos mecánicos, los avances en física hacen que esta concepción se tambalee ligeramente.
En lo referente a términos de Vida Artificial, la idea predominante es que puede ser descrita formalmente mediante las leyes físicas por las que se rigen los seres vivos.
De los tres postulados anteriores sobre los sistemas vivos, puede eliminarse el primero, ya que no van a tratarse de sistemas físico-químicos.
Sin embargo se mantienen los otros dos.
Los principales términos de la Vida Artificial, en resumen, son los siguientes:
- Los sistemas vivos pueden reducirse a las leyes descritas en los sistemas adaptativos complejos.
- Puesto que un sistema adaptativo complejo es reducible a procesos mecánicos, debe ser posible formalizar todas las leyes que rigen en ese sistema.
- Estas leyes pueden ser implementadas en una determinada arquitectura computacional.
Habiendo llegado a esta conclusión llega el momento de ver cual es la implicación de Gödel en la Vida Artificial.
- Una computadora universal como la máquina de Turing puede simular cualquier proceso físico.
- La vida es un proceso físico, por lo que la vida puede ser simulada en una computadora universal.
- Existen criterios que permiten diferenciar a los seres vivos de los no vivos, por lo tanto es posible determinar si un determinado proceso está vivo o no.
- Un organismo artificial debe percibir una realidad R2, la cual debe ser para él tan real como nuestra realidad "real" R1 lo es para nosotros, pudiendo ser R1 y R2 la misma.
- R1 y R2 tienen el mismo 'status ontológico. Gracias al quinto postulado y al corolario extraído del segundo postulado, se puede afirmar que el status ontológico de un proceso vivo es independiente del hardware que lo soporta. Puesto que el status ontológico de R1 y R2 es el mismo, los sistemas vivos pueden crearse en un computador.
- Es posible aprender algo acerca las propiedades fundamentales de las realidades en general, y de R1 en particular, mediante el estudio de los detalles de las diferentes R2's.
El teorema de Gödel afecta a esta realidad artificial tanto como a la nuestra. Sin embargo en nuestra realidad el teorema de incompletitud de Gödel afirma que en sistemas formales axiomáticos tales como la aritmética, existen proposiciones que aún siendo ciertas, no pueden ser demostradas. Es decir, dichos sistemas serían serían incompletos.
Esto puede llevar a pensar que las matemáticas no son formalizables ni mucho menos mecanicistas.
Si las matemáticas en muchos de sus campos no son formalizables, no podrían incluirse en la realidad artificial que se intenta crear. Se puede llegar a pensar que al igual que las matemáticas, otros muchos aspectos y "reglas" de nuestra realidad no podrían ser incluidas en R2. Siendo esto así, nuestra realidad y la realidad artificial no tendrían el mismo status ontológico.
El postulado número 5 de Rasmussen se viene abajo.
Esto nos lleva a pensar que la vida artificial no podrá ser posible, pero como se dijo al comienzo, Gödel sólo cierra algunos caminos. Si bien puede no ser posible crear realidades artificiales con procesos como entes vivos, el campo de la robótica abre nuevas vías, de tal modo que pueden crearse seres vivos artificiales en nuestra propia realidad. Si se lograra que los robots interactuaran con el medio, y dotarlos de la capacidad de adaptación y reproducción, la Vida Artificial aún seguiría siendo posible.
Lingüística
La lingüística es un área que ha sido objeto de estudio para numerosas disciplinas, desde la filosofía a la psicología, pasando por la informática.
Su fin es estudiar las estructuras gramaticales y sintácticas del lenguaje.
La lingüística pues supone una base de comunicación.
En el campo de la inteligencia artificial por ejemplo se pretende enseñar al computador a entender y enunciar formalmente enunciados comprensibles para el hombre.
Aquí entra en juego también la semántica.
Es por tanto vital comprender la suma importancia de la lingüística como base para la comunicación ya sea entre hombres como hombre-máquina.
La base de la lingüística es una serie finita de normas que establecen de qué manera debe realizarse la comunicación.
Se puede entender por tanto como un conjunto finito de axiomas, siendo ésta la tesis del teorema de Gödel podemos por tanto sacar las conclusiones derivadas de su hipótesis.
Podemos concluir por tanto que en todo sistema lingüístico consistente algo debe de resultar indecible.
Dado que a medida que nos alejamos de la rigurosidad científica vamos relajando los requisitos para aplicar el teorema, los resultados obtenidos son pues discutibles o parcialmente aplicables.
Por ejemplo en el ámbito de la lingüística encontramos la poesía como clara excepción.
La poesía no posee determinadas limitaciones, permitiendo darse contradicciones e incoherencias fruto de la aplicación de las numerosas figuras literarias que quedan fuera de la axiomatización inicial.
Filosofía
El teorema de Gödel ha influido de una forma especial en la filosofía de las matemáticas de Zubiri'. El teorema es entendido por el filósofo como
"Lo postulado tiene propiedades que no son deducibles de los postulados ni pueden ser lógicamente refutadas por ellos".
"Jamás podrá demostrarse positivamente la no contradicción de un verdadero sistema de notas o conceptos objetivos.
Aquí es donde coinciden Gödel y Zubiri.
Ambos tienen un mismo objetivo.
La fundamentación matemática. Zubiri crea su obra basándose en lo postulado por Gödel, es decir utiliza el teorema para demostrar sus escritos.
De tal manera que si alguien estudia a Zubiri podrá ver que toda su filosofía se demuestra con Gödel, que a su vez es fácilmente interpretable desde Zubiri.
NUEVA FILOSOFÍA MATEMÁTICA ORIGINAL.
Aparece como consecuencia del teorema de Gödel, basándose en que la inteligencia matemática es sentiente.
Esto ayuda a Zubiri a echar por tierra la antigua tradición en filosofía que se basaba en lo concipiente.
Zubiri ayudado por la demostración de Gödel afirma que
"la inteligencia concipiente se funda en la sentiente y el ser en la realidad y no a la inversa".
Esto supone la gran revolución en filosofía.
Por tanto los postulados de Gödel y de Zubiri (en matemáticas y filosofía) atraviesan el corazón de la fundamentación del conocimiento.
La idea de una matemática formal y lógica se derrumba.
Frente a esto surge la realidad de que todo sistema formal tendrá proposiciones que no podrán demostrarse aunque sean cierta.
“Por qué no admitir honestamente la falibilidad matemática y tratar de defender la dignidad del conocimiento falible frente al escepticismo cínico más bien que tratar de engañarnos a nosotros mismos creyendo que seremos capaces de arreglar invisiblemente el último jirón en el tejido de nuestras "últimas intuiciones".
Para el autor hay que tener muy claro que las matemáticas son incompletas (basándose en Gödel) y la incompletitud se haya en que existen procesos infinitos.
Procesos que deben existir ya que gracias a los procesos falibles que nos acerquen a ellos podremos conocer nuestros errores e intentar corregirlos.
Informática
Esta constante es aleatoria, no puede calcularse, con lo que nunca se van a poder determinar cuales son sus bits.
Para ello Chaitin por una parte define la aleatoriedad como lo incomprimible, carente de regularidad, y por otro lado define los números, que poseen regularidad.
La idea de Chaitin para definir la aleatoriedad se basa en el uso de la complejidad midiendo el tamaño del programa, expone que al examinar el tamaño de un programa, si se tiene en cuenta la complejidad de la información en lugar de la complejidad por tiempo de ejecución, se encontrará siempre incompletitud, puesto que es imposible determinar la complejidad de un programa en base a su tamaño, ya que para ello se hace necesario obtener el tamaño de los programas que calculan su complejidad.
Con n bits de axiomas nunca se va a poder demostrar que se obtenga un programa más breve que el mismo, ya que al disponer de n bits axiomáticos no se puede obtener la complejidad por tamaño del programa si se superan los n bits axiomáticos.
Budismo Zen
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Para hablar de la repercusión en los ámbitos tratados anteriormente, hemos utilizado términos como consistencia, completitud, etc.
Confiriéndoles una importancia elemental.
En contraposición, la cultura budista-zen trata de prescindir de dichos elementos para nosotros fundamentales.
Defiende que no pasa absolutamente nada por ignorarlos, que la verdad se encuentra en los actos de la vida cotidiana.
Es tal la contraposición existente entre el teorema de Gödel y la cultura oriental que se sirve de paradojas, contradicciones, y planteamientos carentes de consistencia lógica para llevar a la la mente a un estado de calma y realizar un viaje místico hacia el Nirvana( la iluminación, la conciencia del universo, la verdad absoluta).
Por tanto, ante las limitaciones impuestas por Gödel, el budista zen opta por desentenderse de la lógica y buscar la verdad a través de la niveles de existencias por encima de la racionalidad del hombre, y formar parte todo, para llegar a ser el todo, es decir,fusionarse con el universo para entenderse a sí mismo.
Autores
Ana Mangas Ballester
Jose Antonio Cordero García
Francisco Javier Campos Granado
Elizabez Sánchez Gil
Castor Miguel Rodriguez Álvarez
FUENTE
